Dla uproszczenia sytuacji ograniczymy się początkowo do dystrybucji określonych na \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \), chociaż formalnie sytuacja jest taka sama dla dystrybucji określonych na dowolnym zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^n.\hskip 0.3pc \)
Załóżmy, że dana jest funkcja różniczkowalne \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R \to \mathbb R.\hskip 0.3pc \) Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części oraz faktu, że \( \hskip 0.3pc \varphi (-\infty) = \varphi (+\infty)=0,\hskip 0.3pc \) otrzymamy
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\,f^\prime(x)\, \varphi (x)dx =f(x)\varphi (x)\Big|_{-\infty}^{+\infty}-\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\,f (x)\, \varphi ^\prime(x)dx = -\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\,f (x)\, \varphi ^\prime(x)dx. \)
Analogicznie dla dowolnego \( \hskip 0.3pc k \geq 1\hskip 0.3pc \) otrzymamy
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\,f^{(k)}(x)\, \varphi (x)dx= (-1)^k\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\,f (x)\, \varphi^{(k)}(x)dx. \)
Wzorując się na ostatniej równości, możemy formalnie sformułować następującą definicje.
Pochodną dystrybucyjną rzędu \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \) z lokalnie całkowalnej funkcji \( \hskip 0.3pc f: \mathbb R \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) oznaczamy symbolem \( \hskip 0.3pc f^{(k)}\hskip 0.3pc \) i określamy wzorem
\( \langle f^{(k)},\, \varphi \rangle\,=\,(-1)^k\displaystyle\int_{ -\infty}^{ +\infty}\,f (x)\, \varphi^{ (k)}(x)dx . \)
W szczególności
\( \langle f^\prime, \varphi \rangle\,=\,-\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\,f (x)\, \varphi^\prime(x)dx \)
Oczywiście pochodna dystrybucyjna jest dystrybucją. Z przeprowadzonych powyżej rozważań wynika natychmiast, że jeśli funkcja \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) posiada pochodną w sensie klasycznym, to posiada również pochodną w sensie dystrybucyjnym i pochodna ta pokrywa się z dystrybucją generowaną przez pochodną klasyczną. Co więcej, jeśli funkcja \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest różniczkowalna prawie wszędzie, a jej pochodna jest funkcją lokalnie całkowalną (w sensie Lebesgue'a), to pochodna dystrybucyjna pokrywa się z dystrybucją generowaną przez pochodną klasyczną.
Definicje \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \)-tej pochodnej dystrybucyjnej możemy sformułować dla dowolej dystrybucji, mamy mianowicie następującą definicje:
Pochodną rzędu \( \hskip 0.3pc k \hskip 0.3pc \) z dystrybucji
\( \hskip 0.3pc T\in D^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) nazywamy dystrybucje \( \hskip 0.3pc T^{(k)}\in D^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) określoną wzorem
\( \langle T^{(k)},\varphi\rangle =(-1)^k \langle T,\varphi^{(k)}\rangle. \)
dla \( \hskip 0.3pc\,\varphi \in D(\mathbb R). \)
Z własności przestrzeni \( \hskip 0.3pc { D}(\mathbb R)\hskip 0.3pc \), wynika natychmiast, że definicja ta jest dobrze określona.
Ponieważ funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) są nieskończenie wiele razy różniczkowalne, każda dystrybucja jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna. Widać też natychmiast, że różniczkowanie dystrybucyjne jest operacją liniową.
Zgodnie z powyższą definicją, dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \), mamy
\( \langle \delta^\prime, \varphi \rangle =-\langle \delta, \varphi^\prime\rangle =-\varphi ^\prime(0) \)
i ogólnie
\( \langle \delta^{(n)}, \varphi \rangle = (-1)^n\langle \delta,\varphi^{(n)} \rangle= (-1)^n\varphi^{(n)}(0). \)
Jeśli \( \hskip 0.3pc H\hskip 0.3pc \) jest funkcją Heaviside'a to
\( \langle H^\prime, \varphi \rangle = -\langle H , \varphi^\prime\rangle = -\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \varphi ^\prime (x)dx =\varphi (0) =\,\langle \delta , \varphi \rangle . \)
Zatem \( \hskip 0.3pc H^\prime=\delta\hskip 0.3pc \) oraz ogólnie \( \hskip 0.3pc H^\prime(x-x_0)=\delta _{x_0}.\hskip 0.3pc \) Wykorzystując indukcje matematyczną łatwo sprawdzić, że \( \hskip 0.3pc H^{(n)}=\delta^{(n-1)}\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc H^{(n)}(x-x_0)=\delta^{(n-1)}_{x_0}\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc n \geq 1\hskip 0.3pc \).
Pochodna dystrybucyjna posiada szereg naturalnych własności. Niektóre z nich podamy poniżej.
Niech \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) będzie funkcją lokalnie całkowalną na \( \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^{\infty}\hskip 0.3 pc \) na \( \hskip 0.3pc \mathbb R.\hskip 0.3pc \) Wówczas
\( (fg)^\prime=f^\prime g+fg^\prime. \)
Istotnie, dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) mamy:
\( \begin{aligned}\langle (fg)^\prime,\varphi \rangle = -\langle fg,\varphi^\prime \rangle =& -\displaystyle\int_{-\infty} ^{+\infty} fg\,\varphi^\prime dx= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\big(g^\prime\varphi -(g\varphi )^\prime \big)dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f g^\prime\varphi\, dx-\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(g\varphi )^\prime dx =\\=& \langle fg^\prime,\varphi \rangle -\langle f,(g\varphi)^\prime \rangle=\langle fg^\prime,\varphi \rangle +\langle f^ \prime ,g\varphi \rangle =\langle fg^\prime ,\varphi \rangle +\langle f^\prime g ,\varphi \rangle =\langle fg^\prime + f^\prime g ,\varphi \rangle,\end{aligned} \)
co należało wykazać.
Niech \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) będzie funkcją lokalnie całkowalną na \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) funkcją różnowartościową klasy \( \hskip 0.3pc C^{\infty}\hskip 0.3pc \) na \( \hskip 0.3pc \mathbb R.\hskip 0.3pc \) Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest prawie wszędzie różniczkowalna, a jej pochodna jest funkcją lokalnie całkowalną. Wówczas
\( (f \circ g)^\prime =(f^\prime\circ g)g^\prime. \)
Istotnie, dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) mamy:
\( \langle (f \circ g)^\prime ,\varphi \rangle = \langle f \circ g ,\varphi^\prime \rangle = -\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}(f \circ g) (x) \varphi ^\prime(x)dx. \qquad\qquad\qquad\qquad \)
Podstawiając w ostatniej całce \( \hskip 0.3pc y=g(x)\hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc x=g^{-1}(y),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc J=g(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) otrzymamy
\( \begin{aligned}\langle (f \circ g)^\prime ,\varphi \rangle=&-\displaystyle\int_Jf(y)\varphi ^\prime\big(g^{-1}(y)\big) \big(g^{-1}\big)^\prime(y)dy =\,-\displaystyle\int_J f(y)\big(\varphi\circ g^{-1}\big)^\prime(y)dy=\\=& \displaystyle\int_Jf^\prime(y)\big(\varphi\circ g^{-1}\big)(y)dy = \,\displaystyle\int_{ \infty}^{+\infty} f^\prime\big(g(x)\big)g^\prime(x)\varphi(x)dx = \langle (f^\prime \circ g)g^\prime ,\varphi \rangle,\end{aligned} \)
co kończy dowód.
Załóżmy, że ciąg lokalnie całkowalnych na \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) funkcji \( \hskip 0.3pc \{f_k\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny dystrybucyjnie do lokalnie całkowalnej funkcji \( \hskip 0.3pc f.\hskip 0.3pc \)
Wówczas ciąg pochodnych dystrybucyjnych \( \hskip 0.3pc \{f_k^\prime\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do pochodnej dystrybucyjnej \( \hskip 0.3pc f^\prime.\hskip 0.3pc \)
Istotnie, dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) mamy
\( \displaystyle\lim\limits_{k\to \infty}\langle f_k^\prime,\,\varphi \rangle =-\displaystyle\lim\limits_{k\to \infty}\langle f_k ,\,\varphi ^\prime\rangle =-\langle f ,\,\varphi ^\prime\rangle= \langle f^\prime ,\,\varphi \rangle, \)
co należało wykazać.
Zauważmy, że własność 3 w przeciwieństwie do przypadku pochodnych klasycznych nie wymaga żadnych dodatkowych założeń (przypomnijmy, że aby granica pochodnych wyrazów ciągu była równa pochodnej granicy - w przypadku pochodnych klasycznych - ciąg funkcji oraz ciąg pochodnych muszą być jednostajnie zbieżne).
Analogicznie można wykazać następującą uwagę:
Jeśli ciąg dystrybucji \( \hskip 0.3pc \{T_k\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do dystrybucji \( \hskip 0.3pc T,\hskip 0.3pc \) to ciąg pochodnych \( \hskip 0.3pc \{T^\prime_k\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do \( \hskip 0.3pc T^\prime.\hskip 0.3pc \)
Z
własności 3 wynika natychmiast, że pochodna dystrybucyjna szeregu zbieżnego jest równa szeregowi pochodnych dystrybucyjnych jego wyrazów, czyli
\( \Big(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }f_k\Big)^\prime=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }f_k^\prime . \)
Niech \( \hskip 0.3pc f:(0, +\infty )\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją ograniczoną. Załóżmy, że istnieje ciąg rosnący \( \hskip 0.3pc \{x_k\}\hskip 0.3pc \) taki, że w każdym przedziale \( \hskip 0.3pc (x_k,\,x_{k+1})\hskip 0.3pc \) funkcja \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) posiada ciągłą pochodną. Załóżmy ponadto, że w każdym z punktów \( \hskip 0.3pc x_k\hskip 0.3pc \) funkcja \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest prawostronnie ciągła, posiada granicę lewostronną \( \hskip 0.3pc f(x_k-0)\hskip 0.3pc \) i ponadto posiada co najwyżej skończony skok
\( s_k=f(x_k) - f(x_k-0). \)
Wówczas funkcja
\( f_0(x)=f(x) - \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} s_k H(x_k-x), \)
gdzie \( \hskip 0.3pc H\hskip 0.3pc \) jest funkcją Heaviside'a, jest ciągła i w każdym z przedziałów \( \hskip 0.3pc (x_k,\,x_{k+1})\hskip 0.3pc \) posiada ciągła pochodną klasyczną. Różniczkując w sensie dystrybucyjnym funkcje
\( f(x)=f_0(x) + \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} s_k H(x_k-x) \)
otrzymamy
\( f^\prime=f_0^\prime+\sum_{k=1}^{\infty} s_k \delta_{x_k}. \)
W szczególności, jeśli pochodna klasyczna \( \hskip 0.3pc f_0^\prime\hskip 0.3pc \) jest funkcją lokalnie całkowalną, to dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega)\hskip 0.3pc \) otrzymamy
\( \langle f^\prime,\,\varphi \rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f^\prime_0(x)\varphi (x)dx +\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} s_k \varphi (x_k). \)
Oczywiście pochodna klasyczna jest określona poza punktami ciągu \( \hskip 0.3pc \{x_k\},\hskip 0.3pc \) a rozważana całka jest całką Lebesgue'a.
Zdefiniujemy teraz pochodną dystrybucyjną funkcji lokalnie całkowalnej na dowolnym zbiorze otwartym \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^n.\hskip 0.3pc \)
Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) i rozważmy funkcje \( \hskip 0.3pc f:\Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) lokalnie całkowalną na \( \hskip 0.3pc \Omega.\hskip 0.3pc \) Pochodną dystrybucyjną \( \hskip 0.3pc D^{ k}=\tfrac{\partial^{|k|}}{\partial x_1^{k_1}\ldots \partial x_n^{k_n}},\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc k =(k_1, \ldots ,k_n),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc | k|=k_1+\ldots +k_n,\hskip 0.3pc \) z funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) określamy wzorem
\( \langle D^{ k} f,\varphi\rangle =(-1)^{| k|} \displaystyle\int_{\Omega}f(x_1, \ldots, x_n) D^{ k} \varphi (x_1,\ldots ,x_n)\,dx_1 \ldots dx_n \)
dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega).\hskip 0.3pc \).
Podobnie, jeśli \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\Omega),\hskip 0.3pc \) to pochodną dystrybucyjną \( \hskip 0.3pc D^{ k}\hskip 0.3pc \) z dystrybucji \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) określamy wzorem
\( \big<D^{ k} T,\varphi\big> = (-1)^{| k|} \big<T, D^{ k}\varphi\big> \quad {\textrm dla~ dowolnej~ funkcji} \quad\varphi \in D(\Omega). \)
Z własności przestrzeni \( \hskip 0.3pc D(\Omega)\hskip 0.3pc \) oraz liniowości i ciągłości \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) wynika wynika natychmiast, że pochodna dystrybucyjna \( \hskip 0.3pc D^{ k}T=\tfrac{\partial^k T}{\partial x_1^{k_1}\ldots \partial x_n^{k_n}}\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na \( \hskip 0.3pc D(\Omega),\hskip 0.3pc \) czyli dystrybucją na \( \hskip 0.3pc \Omega.\hskip 0.3pc \)
Niech \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) będzie funkcją lokalnie całkowalną na \( \hskip 0.3pc \mathbb R^2.\hskip 0.3pc \) Wówczas dla pochodnych dystrybucyjnych mieszanych zachodzi równość
\( \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}. \)
Istotnie
\( \big<\tfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y},\varphi \big> = \big<f, \tfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y}\big> = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\tfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y}(x,y)dxdy. \)
Podobnie
\( \big<\tfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x},\varphi \big> = \big<f, \tfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y \partial x}\big> = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\tfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y \partial x}(x,y)dxdy. \)
Ponieważ na mocy twierdzenia Schwarza \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y}=\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y \partial x},\hskip 0.3pc \) prawe strony ostanich równości są sobie równe, skąd własność 4 wynika natychmiast.
Rozumując analogicznie nietrudno sprawdzić, że mieszane pochodne dystrybucyjne - jak zauważyliśmy poprzednio - nie zależą od kolejności różniczkowania. W zastosowaniach teorii dystrybucji własność ta jest istotna. Wyjaśnia to poniższy przykład.
Rozważmy równania różniczkowe:
\( \dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0\quad {\rm oraz}\quad \dfrac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}=0 \)
Zauważmy, że dowolna funkcja (niekoniecznie różniczkowalna) \( \hskip 0.3pc u=f(x)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem w sensie klasycznym pierwszego równania a dowolna funkcja \( \hskip 0.3pc u=g(y)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem drugiego równania. Wynika stąd, że rodziny rozwiązań tych równań są różne w sensie klasycznym. Jeśli dodatkowo zażądamy aby szukane rozwiązania były klasy \( \hskip 0.3pc C^2,\hskip 0.3pc \) zgodnie z twierdzeniem Schwarza pochodne mieszane są sobie równe a rodziny rozwiązań pokrywają się. W zakresie rozwiązań dystrybucyjnych - zgodnie z własnością 4 - rodziny rozwiązań powyższych równań pokrywają się bez dodatkowych założeń.
